De espirales y logaritmos
Uno de los conceptos que más temen los alumnos en clase de matemáticas es el de logaritmo de un número. Hoy os voy a enseñar los logaritmos desde otro punto de vista, más geométrico e intuitivo. Y es aquí donde entran las espirales. Todos tenemos una idea de lo que es una espiral, y las hay a montones en la naturaleza. Nos gustan tanto que las usamos como motivos decorativos o arquitectónicos. Vamos a fijarnos en un tipo de espiral en concreto, espirales equiangulares (de hecho también se les llama espirales logarítmicas).
Y es precisamente en la naturaleza donde aparecen este tipo de espirales. La podemos encontrar, por ejemplo, en la concha de los caracoles, como podéis ver en la foto (Tomada por mi alumna de Bachillerato Ana Rincón, a la que agradezco que la comparta). Y os preguntaréis cómo demonios se construyen esas espirales, pues bien, ya veréis que es muy sencillo.C
¿Quién no ha dibujado una circunferencia con una cuerda atada a un punto fijo, o se lo ha visto hacer a su profesor de matemáticas en la pizarra? (algunos osados nos atrevemos a hacerla a mano alzada, arriesgándonos a una carcajada asegurada después del resultado del dibujo). Ahora imaginaros que en vez de una cuerda rígida, engancho al punto fijo una cuerda elástica, de manera que conforme giramos alrededor de ese punto me puedo ir separando a la vez, si hago esto que os describo comprobaréis como se va formando una espiral.
Pero a nosotros no nos interesa cualquier espiral, nos interesan las equiangulares, que como su nombre indica, es una espiral que se va abriendo bajo un ángulo constante. La idea es muy intuitiva; conforme voy girando la goma elástica alrededor del punto fijo, sigo la dirección que forma un ángulo determinado con respecto a la línea que une el centro y el punto donde estoy (realmente se toma el ángulo complementario como referencia), con lo cual me voy alejando progresivamente. Como una imagen vale más que mil palabras…
¿Y qué tiene que ver todo este montaje de espirales con los logaritmos? Muy sencillo, si cuento el número de vueltas que da una de estas espirales alrededor de su punto, da como resultado el logaritmo en una determinada base, dependiendo de la espiral (ver dibujo). ¿Y qué pasa si no doy la vuelta completa? Pues pasa igual que cuando miramos la hora en un reloj. Si damos 1 vuelta completa y un poquito de una segunda, dibujamos la circuncerencia centrada en el punto de giro y que corte a la espiral por el punto donde hemos decidido calcular. resulta que viendo el dibujo, se ve que hemos recorrido más o menos un 11% de la segunda vuelta, por tanto se puede deducir que log 13 (13 es donde corta la circunferencia al eje x) es aproximadamente 1.11. Pues qué fáciles parecen ahora estos logaritmos ¿no?
Por eso aparecen tanto en la naturaleza, por ejemplo en las conchas, o en las formas de las galaxias. Incluso el vuelo del halcón acechando a su presa describe una trayectoria en forma de espiral equiangular, ya que así puede estar observando siempre a su presa sin perderla de vista mientras da vueltas acercándose entorno a ella.
Una base que se utiliza mucho para cacular logaritmos es la base e. ¿Pero que demonios es e? pues un número como otro cualquiera, sólo que éste en concreto tiene infinitos decimales (e=2,7182…) y resulta que aparece mucho en el crecimiento de poblaciones, astronomía, sociología, química, física de partículas… ¡Vaya con el número e! Se usa tanto, que el logaritmo que tiene como base este número se le llama de manera diferente (logaritmo neperiano o también logaritmo natural).
¿Y cómo construir esa espiral basada en el número e? ¿Cómo encuentro ese ángulo en el que me debo ir aejando mientras giro alrededor del centro con mi goma elástica? Sencillo, imaginaros una circunferenciade radio 1, su longitud es dos veces el número pi, otro personaje numérico del que ya hablamos con anterioridad. Pues bien, si formamos un triángulo rectángulo de base 1 y altura 2 veces pi, se forma en la base un ángulo de 80º 95′. Ése es nuestro ángulo, y además, nos proporciona una escalofriante relación entre estos dos números, de hecho, se relacionan de otras maneras, pero eso ya es algo que dejaremos para más adelante.
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